一、全国初中数学竞赛难吗？
当然难，我是厦门的 我们星期天去学校参加数学竞赛，超难的我跟你讲！！而且这次是厦门市的选拔赛哪！！要很厉害才可以去厦门参加 才市里都这么难了 更不用说国家的了！！
不过你是要去参加嘛？很厉害嘛！！但是重在参与 能去国家参加真的很不错了
当然最好能够取得好成绩 但是只要你尽力了 谁都不能怪你 ！
不要紧张 保持平常心，不要被那个所谓的紧张、害怕给冲昏头脑，题目会做的 手头一湿 就想不出来啦！！不要太在意。重在参与嘛！我那天去考试的时候 比周围的朋友紧张多了 考试的时候我也放松了 考得比想象的还好！真的 听我一句劝喏！真的不用紧张！！还是那句话 重在参与！！ 记得先把会做的题目全部写完 其他的不会的都放在后面的时间写 记住哦！！
我个人觉得好像华罗庚杯更难些吧～～～
看你的头脑思维还有学得好不好咯！
没希望杯、华罗庚杯难（自我感觉）
华罗庚杯最难
希望
二、江门开平 09年全国初中数学竞赛获奖名单
全江门市(包括开平/台山/鹤山/恩平/新会)
23人一等奖,65人二等奖,93人三等奖
一等奖
开平市金山中学 李沃铭 陈豪哲
港口中学 梁景锋
二等奖
开平市金山中学 朱旭滨 邓灿文 冯璧君 梁炜枫
开平市忠源纪念中学 廖 然
三等奖
开平市金山中学 冯俊杰 吴旭年 黄伟国 黄嘉颖
开平市港口中学 张汉辉 周迪培 谭健沛
开平市苍江中学 劳剑弟
开平市龙胜初级中学 苏贤栋 苏文辉
开平市龙塘中学 谢培标 劳佰兴
开平市沙冈初级中学 余桌森 张奕章
开平市第四中学 吴健波
开平市月山中学 许达明
开平市公侨初级中学 梁炫枫
开平市大岗中学 罗淑娟。
三、急求：1999年全国初中数学竞赛、全国初中数学联合竞赛等试卷
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填得零分）
1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）。
（A）36（B）37（C）55（D）90
答：C．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。
故选C．
2．已知，，且，则的值等于（）
（A）－5（B）5（C）－9（D）9
答：C．
解：由已知可得，．又
，
所以，
解得．
故选C．
3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）
（A）（B）（C）（D）
答：B．
解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得
，
，
，
所以．
由于，所以，故斜边AB上高．
故选B．
4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）
（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007
答：B．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．
因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62－2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以
（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，
解得≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了
58＋33＋33×58＝2005（刀）．
故选B．
5．如图，正方形内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）
（A）（B）
（C）（D）
答：D．
解：如图，设⊙的半径为，，则，，．
在⊙中，根据相交弦定理，得．
即，
所以．
连结DO，由勾股定理，得
，
即，
解得．
所以，．
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．
答：5013．
解：由＋＝2006，＝2005，得
＋＋＝＋4011．
因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．
于是，＋＋的最大值为5013．
7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于。
答：．
解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG∽△ABC，可得
作者：221。13。21。*2006-5-312:29回复此发言
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22006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
，
解得．于是
，
由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以。
8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分。那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．
答：104．
解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是
，
且≤，
所以，≤＜．
故x=13，此时．
9．已知，且满足
（表示不超过x的最大整数），则的值等于．
答：6．
解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以
＝＝…＝＝0，
＝＝…＝＝1，
所以，
≤＜．
故≤＜，于是≤＜，所以6．
10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．
答：282500．
解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．
根据题意，有81×＝．
记，于是
，
解得．
因为≤≤，所以
≤＜，
故＜≤．
因为为整数，所以＝2．于是
．
所以，小明家原来的电话号码为282500．
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11（A）．已知，,为互质的正整数，且≤，．
（1）试写出一个满足条件的x；
（2）求所有满足条件的．
解：（1）满足条件．……………………5分
（2）因为，,为互质的正整数，且≤，所以
，
即
．
当a＝1时，，这样的正整数b不存在．
当a＝2时，，故b＝1，此时．
当a＝3时，，故b＝2，此时．
当a＝4时，，与互质的正整数b不存在．
当a＝5时，，故b＝3，此时．
当a＝6时，，与互质的正整数b不存在．
当a＝7时，，故b＝3，4，5，此时，，．
当a＝8时，，故b＝5，此时．
所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．
…………………15分
12（A）．设，，为互不相等的实数，且满足关系式
①
及，②
求的取值范围．
解法1：由①－2×②得
，
所以．
当时，
．
…………………10分
又当＝时，由①，②得
，③
，④
将④两边平方，结合③得
，
化简得
，
故，
解得，或．
所以，的取值范围为且，．
……………15分
解法2：因为，，所以
＝＝，
所以．
又，所以，为一元二次方程
⑤
的两个不相等实数根，故
，
所以．
当时，
．
…………………10分
另外，当＝时，由⑤式有
，
即
，或，
解得，或．
所以，的取值范围为且，．
…………………15分
13（A）．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：．
证明：因为AC‖PB，所以．又PA是⊙O的切线，所以．故，于是
△KPE∽△KAP，
所以，
作者：221。
13。21。
*2006-5-312:29回复此发言
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32006全国初中数学竞赛试题及答案（全）
即．
………………5分
由切割线定理得
，
所以，KP＝KB．
…………………10分
因为AC‖PB，所以，△KPE∽△ACE，于是
，
故，
即．
…………………15分
14（A）．2006个都不等于119的正整数排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值．
解：首先证明命题：对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数．
事实上，考虑如下119个正整数
，，…，，①
若①中有一个是119的倍数，则结论成立．
若①中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，…，118这118种情况．所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和（≤＜≤），于是
，
从而此命题得证．
…………………5分
对于中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2×119，又因为，所以
≥．②
…………………10分
取，其余的数都为1时，②式等号成立．
所以，的最小值为3910．
…………………15分
11（B）．已知△中，是锐角．从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为；从顶点向边或其延长线作垂线，垂足为．当和均为正整数时，△是什么三角形？并证明你的结论．
解：设，均为正整数，则
，
所以，mn＝1，2，3．
…………………5分
（1）当mn＝1时，，，此时．所以垂直平分，垂直平分，于是△是等边三角形．
（2）当mn＝2时，，，此时，或，所以点与点重合，或点与点重合．故，或，于是△是等腰直角三角形．
（3）mn＝3时，，，此时，或．于是垂直平分，或垂直平分．故，或，于是△是顶角为的等腰三角形．
…………………15分
12（B）．证明：存在无穷多对正整数，满足方程
．
证法1：原方程可以写为
，
于是
是完全平方数．
…………………5分
设，其中k是任意一个正整数，则．
…………………10分
于是
，或．
所以，存在无穷多对正整数（其中k是正整数）满足题设方程．
…………………15分
证法2：原方程可写为
，
所以可设
（x是正整数），①
取．②
…………………5分
①－②得
．
令（y是任意正整数），则．
…………………10分
于是
．
所以，存在无穷多对正整数（其中y是任意正整数）满足题设方程．
…………………15分
13（B）．如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连结AX．求证：．
证明：设AX与⊙O相交于点，连结OB，OC，．又M为BC的中点，所以，连结OX，它过点M．
因为，所以
．①
又由切割线定理得
．②
…………………5分
由①，②得
，
于是
△XMA∽△，
所以
．
…………………10分
又，所以，于是
．
…………………15分
14（B）．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．证明：n的最小值为6．
证明：设10个学生为，n个课外小组为．
首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．
…………………5分
若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾．
所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n个课外小组的人数之和不小于＝30．
另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n个课外小组的人数不超过5n，故
≥，
所以≥．
…………………10分
下面构造一个例子说明是可以的．
，，，
，，．
容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．
所以，n的最小值为6．
…………………15分。
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